מכניקה קלאסית - מדריך מלא

01

רקע היסטורי: איך נולדה המכניקה?

המכניקה הקלאסית היא לא נורמה שנפלה משמיים - היא נבנתה במשך מאות שנים על ידי אנשים ששאלו את השאלה הפשוטה ביותר: למה דברים זזים?

כדי להבין באמת מה היא פיזיקה, צריך קודם לראות מאיפה היא באה. הסיפור מתחיל מתפיסה שגויה שנמשכה אלפיים שנה, עובר דרך תצפיותיו הבלתי-נלאות של קפלר, ומגיע לשיאו בספר אחד ששינה את העולם: הפרינקיפיה.

אריסטו: התנועה היא תכונה שהגוף רוכש

אריסטו (המאה ה-4 לפנה"ס) טען שכדי שגוף ישמור על מהירות קבועה, חייבת לפעול עליו ללא הרף כוח. הוא נימק זאת בחיים: עגלה נעצרת כשמפסיקים לדחוף. הנחה זו נראתה סבירה לחלוטין בעולם יומיומי, אבל היא הייתה לא נכונה. הבעיה: בעולם האמיתי קיים תמיד חיכוך שבולם תנועה, ואריסטו טעה כשניכה שמנוצרת כאן - הכוח בכלל לא יוצר את התנועה, הוא פשוט גובר על החיכוך.

גלילאו: התמדה ונפילה חופשית

גלילאו (1564-1642) עשה שני דברים מהפכניים. ראשית, הוא טען שכל גוף ישמור על מצב תנועתו - מה שנקרא כיום עקרון ההתמדה (אינרציה) - כל עוד אין כוח שמשנה אותה. שנית, הוא חקר את הנפילה החופשית ואחרי ניסויים (לפי המסורת, בהפלת כדורים מגדל פיזה) הגיע למסקנה שכל הגופים נופלים באותה תאוצה, ללא קשר למסה שלהם. זה נוגד את האינטואיציה היומיומית, אבל התשובה פשוטה: נוצה וקוביה נופלות אחרת רק כי האוויר בולם את הנוצה. בוואקום הן נופלות יחד.

קפלר: חוקי התנועה הפלנטרית

בתצפיות מדדו את מסלולי כוכבי הלכת, הראה קופרניקוס שהשמש במרכז. על בסיס המדידות המדויקות של טיכו ברהה, ניסח יוהנס קפלר (1571-1630) שלושה חוקים אמפיריים שהתארו איך כוכבי הלכת נעים, בלי שום הסבר למה:

שלושת חוקי קפלר (תיאור בלבד)

1. המסלול של כל כוכב לכת הוא אליפסה והשמש באחד המוקדים. 2. קו מהשמש לכוכב הלכת טועף שטחים שווים בזמנים שווים. 3. ריבוע זמן המחזור פרופורציונלי לקוביית חצי הציר הראשי.

ניוטון: הפרינקיפיה, 1687

בשנת 1687 פרסם אייזק ניוטון את "Principia Mathematica" - "העקרונות המתמטיים של הפילוסופיה של הטבע". בחיבור אחד הוא איחד את כל ההתגלות של גלילאו וקפלר תחת שלושה חוקים אחדים של תנועה, והוסיף את חוק הכבידה האוניברסלי שהסביר את מסלולי כוכבי הלכת. פתאום, אותה תאוצה של תפוח נופל ותנועת הירח באו מאותו כוח אחד.

לאחר ניוטון: לגראנז' והמילטון

אחרי ניוטון הגיעו ניסוחים רשמיים ואלגנטיים יותר. ז'וזף לגראנז' וג'יימס המילטון הציגו שיטות שמבוססות על עקרונות של מינימום (עקרון הפעולה) ועל אנרגיות - ולא על כוחות. הניסוחים האלה לא משנים את הפיזיקה, אבל הם הופכים בעיות קשות לפשוטות, והם הבסיס שעליו נבנתה המכניקה הקוונטית ותורת השדות. נחזור אליהם בחלק 8.

02

קינמטיקה: תיאור התנועה

קודם כול רק מתארים איפה הגוף ואיך הוא זז בזמן, בלי לשאול למה. התשובה ל”למה” מגיעה בדינמיקה.

קינמטיקה עונה על השאלה איך גוף נע. כדי לתאר תנועה אנחנו צריכים שלושה מושגים: מיקום, מהירות ותאוצה. כולם מסתמכים על הרעיון של שינוי, ולשינוי יש שפה אחת טבעית - הנגזרת.

מקום: r(t)

המיקום $r (t)$ אומר לנו איפה הגוף נמצא בכל רגע בזמן. זוהי פונקציה של הזמן. שינוי במיקום נקרא העתק, ואורך המסלול כולו נקרא דרך.

מהירות: v = dr/dt

המהירות היא קצב שינוי המיקום בזמן. אינטואיטיבית - כמה מטרים הגוף מתקדם בכל שנייה.

מהירות רגעית

v = \frac{d r}{d t} = \dot{r}

הנקודה שמעל ה- $r$ היא קיצור נוח לנגזרת הזמן, סגנון שנלקח מהנוטציה של ניוטון בעצמו. המהירות הממוצעת היא השינוי כולו חלקי הזמן כולו: $\overset{ˉ}{v} = Δ r /Δ t$ .

תאוצה: a = dv/dt

התאוצה היא קצב שינוי המהירות בזמן - כמה מהר המהירות עצמה משתנה. גם גוף שנע לאט יכול להיות בעל תאוצה גדולה, אם המהירות שלו משתנה מהר.

תאוצה רגעית

a = \frac{d v}{d t} = \dot{v} = \ddot{r}

תנועה בתאוצה קבועה - מהנגזרת חזרה לנוסחה

כשהתאוצה קבועה, אפשר ללכת אחורה: אם $a = const$ , אז המהירות צומחת בליניאריות בזמן, והמקום צומח בריבוע הזמן.

משוואות התנועה בתאוצה קבועה (עם הנגזרת)

v = v_{0} + a t

x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a (x - x_{0})

איך גוזרים אותן? מכיוון שהתאוצה קבועה, המהירות היא האינטגרל שלה: $v (t) = \int a d t = a t + v_{0}$ . ואז המקום הוא האינטגרל של המהירות: $x (t) = \int v d t = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + x_{0}$ . הנוסחה השלישית היא פשוט חיסול של $t$ בין השתיים הראשונות.

דוגמה - נפילה חופשית מגובה מנוחה

גוף נופל ממצב מנוחה ( $v_{0} = 0$ ) בהשפעת כבידה בלבד, $g = 9.8 m/s^{2}$ . מה המהירות שלו אחרי 3 שניות, ומה המרחק שעבר?

דוגמה: מהירות ומרחק אחרי 3 שניות

1המהירות אחרי 3 שניותנציב בתנועה בתאוצה קבועה. הגוף נופל מעמידה, כך ש- $v_{0} = 0$ .
$v = v_{0} + g t = 0 + 9.8 \cdot 3 = 29.4 m/s$
2המרחק שעברמהנוסחה למקום, עם $x_{0} = 0$ ומנוחה ראשונית.
$x = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 9 = 44.1 m$
3המשמעות הפיזיקליתאחרי 3 שניות הגוף נוסע בקצב של 29.4 מטר בכל שנייה, ובסך הכול הצליח לצלוח 44.1 מטר. שים לב שזה לא פשוט 29.4·3 - בגלל שהתחיל מעמידה, המרחק הוא רק מחצית מזה.

זריקה פרבולית: פיצול לשני צירים עצמאיים

סוד הקסם של תנועה דו-ממדית: הציר האופקי והציר האנכי אינם תלויים זה בזה. הכבידה פועלת רק אופקית (בגלל ההתמדה) - האופקי מתקדם במהירות קבועה, והאנכי בנפילה חופשית.

זריקה עם מהירות התחלתית בזווית θ

x (t) = v_{0} cos θ t

אופקי - אין תאוצה

y (t) = v_{0} sin θ t - \frac{1}{2} g t^{2}

אנכי - נפילה חופשית

03

דינמיקה: למה דברים נעים

עכשיו מתחילים לשאול למה. הדינמיקה קושרת בין תנועה לכוח, ומתבססת על שלושת חוקי ניוטון.

החוק הראשון: התמדה (אינרציה)

כל גוף שומר על מצב תנועתו - אם הוא במנוחה יישאר במנוחה, ואם הוא נע יעבור קדימה בקו ישר במהירות קבועה - כל עוד כוח חיצוני לא משנה זאת.

החוק השני: F = ma

כשכן פועל כוח, מה קורה? הכוח קובע תאוצה - לא מהירות ולא מקום. והכוח שהוא גדול יותר, התאוצה גדלה; וככל שהמסה גדולה יותר, כך קשה יותר להשפיע עליה.

החוק השני של ניוטון

F_{net} = m a

שים לב: הכוח נטו - סכום כל הכוחות. אם דוחפים קדימה וגם אחורה באותה עוצמה, נטו אפס והמהירות לא משתנה. המסה כאן היא מידת ה”עצלות” של הגוף - כמה קשה לשנות את תנועתו.

החוק השלישי: פעולה ותגובה

כל פעולה מלווה בתגובה שווה והופכית בכיוונה. חשוב: הכוחות הפעולה והתגובה פועלים על גופים שונים, ולכן אף פעם לא מבטלים זה את זה.

החוק השלישי

F_{A \to B} = - F_{B \to A}

דוגמה: הליכה קדימה

1מה באמת קורהכשאתם דורכים על הרצפה, כף הרגל לוחצת על הרצפה אחורה עם כוח $F_{foot \to floor}$ . הרצפה, בתגובה, לוחצת קדימה על הרגל באותו גודל בכיוון ההפוך - $F_{floor \to foot}$ .
2למה הרצפה ”מזיזה” אותךהתגובה של הרצפה היא הכוח שבו אתה נדחף קדימה. הגוף שלך והרצפה הם שני גופים שונים, לכן הכוחות לא מבטלים זה את זה - והם פועלים יחד כדי להתניע אותך.

דיאגרמת גוף חופשי

לפני פתרון בעיה, מציירים תרשים של כל הכוחות הפועלים על הגוף הנבחר בלבד. זה מאפשר לסכם אותם בצורה מסודרת ולגלות את הכוח הנטו. הכוחות הטיפוסיים: משקל $m g$ למטה, הנורמל $N$ בניצב לפני השטח, ומתיחות $T$ לאורך חוט.

מישור משופע

אחד התרגילים החשובים ביותר. על גוף על מישור נוטים בזווית $θ$ , המשקל מתפרק לרכיב במקביל למישור ורכיב ניצב לו.

משקל על מישור משופע

m g_{∥} = m g sin θ, m g_{⊥} = m g cos θ

a = g sin θ

חיכוך: סטטי וקינטי

החיכוך מתנגד לתנועה יחסית בין משטחים. יש שני סוגים. החיכוך הסטטי מונע החלקה כל עוד הכוח לא חוצה סף; החיכוך הקינטי פועל בעוד הגוף מחליק בפועל.

מודל החיכוך

f_{s} \leq μ_{s} N

f_{k} = μ_{k} N

שים לב לשוני: החיכוך הסטטי מתאים את עצמו (יש לו טווח של עד $μ_{s} N$ ), בעוד החיכוך הקינטי הוא קבוע ברגע שמחליקים. בדרך כלל $μ_{s} \geq μ_{k}$ . מקדם $μ$ תלוי בתכונות שני המשטחים (ולא בגודל שטח המגע!).

דוגמה: גוף שדוחפים על משטח

1נתוניםגוף במסה $m = 2 kg$ נדחף בכוח אופקי $F = 15 N$ על משטח בעל $μ_{k} = 0.4$ .
2הכוח נטועל משטח אופקי הכוח הנורמלי שווה למשקל: $N = m g = 19.6 N$ , לכן החיכוך $f_{k} = μ_{k} N = 7.84 N$ . הכוח הנטו אופקית: $15 - 7.84 = 7.16 N$ .
3תאוצת הגוףכלומר, למרות שדוחפים ב-15 ניוטון, התאוצה תלויה במה שנשאר אחרי שהחיכוך ”אכל” חלק מהכוח.
$a = \frac{F _{net}}{m} = \frac{7.16}{2} = 3.58 m/s^{2}$

04

עבודה, אנרגיה והספק

כוח הוא פעולה על גוף, אבל כדי לתת לו משמעות עמוקה יותר נעבור למושג האנרגיה - הכמות שנשמרת לאורך כל תהליך.

עבודה: W = F d cos θ

העבודה היא כמות האנרגיה שכוח מעביר לגוף. לא מספיק שהכוח פועל - הוא צריך גם להזיז את הגוף לאורך כיוון הפעולה. לכן מופיע $cos θ$ .

הגדרת העבודה

W = F \cdot d = F d cos θ

אנרגיה קינטית: K = ½ m v²

אנרגיית התנועה. היא גדלה בריבוע המהירות, אז להכפיל מהירות זה פי ארבע אנרגיה. מכך נובע שעצירה ממהירות כפולה דורשת פי ארבע עבודה.

אנרגיה קינטית

K = \frac{1}{2} m v^{2}

אנרגיה פוטנציאלית כבידתית: U = m g h

אנרגיית המיקום. ככל שגוף גבוה יותר, כך הוא יכול ”לשלם” באנרגיה כשנופל. ההתייחסות היא יחסית - מה שנקרא גובה אפס הוא בחירה חופשית.

אנרגיה פוטנציאלית כבידתית (בקרבת פני הקרקע)

U = m g h

משפט העבודה-אנרגיה

משפט פשוט וחזק: העבודה הכוללת על גוף שווה לשינוי באנרגיה הקינטית שלו.

משפט העבודה-אנרגיה

W_{net} = Δ K = \frac{1}{2} m v_{f}^{2} - \frac{1}{2} m v_{i}^{2}

שימור אנרגיה מכנית

כשרק כוחות משמרים (כבידה, קפיצים) פועלים - כלומר הכוח תלוי רק במקום ומשויך לאנרגיה פוטנציאלית - סכום האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית נשמר בכל רגע. אנרגיה רק משנה צורה.

שימור אנרגיה מכנית

E = K + U = const

דוגמה: רכבת הרים

1התיאורקרונית מתחילה ממנוחה בראש גבעה בגובה $h = 20 m$ . יורדת ומטפסת לגבעה נמוכה יותר בגובה $h_{2} = 8 m$ (ללא חיכוך).
2זיהוי עיקרוןאנרגיה מכנית נשמרת. בראש: רק פוטנציאל. באמצע המסלול: תמה של קינטית ופוטנציאל.
3מהירות בראש הגבעה הגבוהה $m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + m g h_{2}$ , מחלקים ב-m ופותרים:
$v = 2 g (h - h_{2}) = 2 \cdot 9.8 \cdot 12 \approx 15.3 m/s$
4התובנההמסה כלל לא מופיעה בתוצאה - רכבת עמוסה וקרונית ריקה מקבלות אותה מהירות באותה גבעה. זה כוחו של שימור האנרגיה: מסלול לא חשוב, רק פרש הגבהים.

הספק: P = F v

ההספק הוא קצב עשיית העבודה - כמה אנרגיה משתמשת בכל שנייה. כשיש כוח קבוע והגוף נע, ההספק הוא מכפלת הכוח במהירות.

הספק

P = \frac{d W}{d t}, P = F \cdot v

יחידת ההספק היא הוואט. על זה מדברים כשרכב ”מסביר” את הכוח שלו - ההספק אומר לך כמה מהר אפשר לבצע עבודה, לא כמה עבודה יש.

05

תנע והתנגשויות

אנרגיה נשמרת, אבל יש לה כמות תאומה קדושה - התנע. כשהיא נשמרת, כל ההתנגשויות הופכות לפתירות.

הגדרת התנע: p = m v

התנע הוא ”כמות התנועה” - מכפלת המסה במהירות. מסה כבדה יותר באותה מהירות = יותר תנע; ומהירות גבוהה יותר = יותר תנע.

תנע

p = m v

מעניין: הגרסה הכללית של החוק השני של ניוטון נכתבת בעצמה במונחי תנע: $F = \frac{d p}{d t}$ . כש- $m$ קבוע זה חוזר ל- $F = m a$ .

שימור התנע במערכת מבודדת

במערכת מבודדת (ללא כוחות חיצוניים), סך התנע נשמר. כוחות פנימיים של פעולה ותגובה, כמו בהתנגשות, מבטלים זה את זה בזוגות, כך שתנע כולל לעולם לא נוצר או נהרס - הוא רק עובר בין גופים.

שימור התנע

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}

התנגשות אלסטית ואי-אלסטית

בשני סוגי ההתנגשויות התנע נשמר תמיד. ההבדל הוא באנרגיה. בהתנגשות אלסטית גם האנרגיה הקינטית נשמרת (גופים קופצים זה מזה). בהתנגשות אי-אלסטית חלק מהאנרגיה הופך לחום, קול או דפורמציה. בקיצוני, אי-אלסטית לחלוטין - הגופים דבוקים ונעים יחד.

קריטריון התנגשות

אלסטית - האנרגיה הקינטית נשמרת

\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{'2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{'2}

דוגמה: התנגשות חד-ממדית אי-אלסטית לחלוטין

1הנתוניםגוף $m_{1} = 1 kg$ נע במהירות $v_{1} = 6 m/s$ אל עבר גוף נייח $m_{2} = 2 kg$ . הם מתנגשים ונצמדים.
2שימור התנעבהתנגשות אי-אלסטית לחלוטין שניהם נעים יחד עם המהירות $v^{'}$ .
$m_{1} v_{1} = (m_{1} + m_{2}) v^{'} \Rightarrow v^{'} = \frac{1 \cdot 6}{1 + 2} = 2 m/s$
3בדיקת האנרגיהאנרגיה לפני: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 6^{2} = 18 J$ . אחרי: $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2^{2} = 6 J$ . 12 ג'אול ”נעלמו” לאנרגיית חום ועיוות - וזה בסדר, כי התנע נשמר.
4התובנההתנע תמיד נשמר, אבל אנרגיה קינטית לא - היא יודעת להתמסר להבה. זו הסיבה שאנחנו תמיד פותרים התנגשויות דרך התנע, ומשתמשים באנרגיה כדי לבדוק את סוג ההתנגשות.

06

תנועה סיבובית

כל מה שלמדנו בתנועה קווית חוזר על עצמו בעולם הסיבוב - רק עם ייצוג מתאים: מומנט, מומנט אינרציה, ותנע זוויתי.

כשגוף מסתובב, ההקבלה לקינטיקה הקווית לא רק יפה - היא ממש מנוהלת. במקום כוח יש מומנט, במקום מסה יש מומנט אינרציה, ובמקום מהירות יש מהירות זוויתית.

מומנט: τ = r F sin θ

המומנט הוא ”כוח מסובב”. הוא תלוי בכוח, במרחק מציר הסיבוב $r$ , ובזווית בין הכוח לזרוע. ככל שמפעילים כוח רחוק יותר מהציר וניצב יותר אליו, כך המומנט גדול יותר.

מומנט

τ = r \times F = r F sin θ

מומנט אינרציה וקצב סיבוב: τ = I α

מומנט האינרציה $I$ הוא העצלות הסיבובית - כמה קשה להתניע או לעצור סיבוב. הוא תלוי במסה ובאיך היא מפוזרת סביב הציר. עבור קליפה אחידה סביב ציר מרכזי: $I = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}$ .

החוק השני לתנועה סיבובית

τ_{net} = I α

זה האנלוג המדויק של $F = ma$ : מומנט נטו קובע תאוצה זוויתית $α$ , בדיוק כמו שכוח נטו קובע תאוצה קווית.

תנע זוויתי ושימורו: L = I ω

בדיוק כמו התנע הקווי, יש כמות שנשמרת בסיבוב - התנע הזוויתי $L = I ω$ . במערכת ללא מומנט חיצוני, היא נשמרת.

תנע זוויתי

L = I ω

דוגמה: מחליקה מסתובבת שמקפלת ידיים

1התיאורמחליקה מסתובבת עם ידיים פרושות, בתנע זוויתי $L = I_{1} ω_{1}$ . כשמושכת ידיים פנימה, $I$ קטן.
2למה היא מסתובבת מהר יותרמכיוון שאין מומנט חיצוני (השחיקה מינימלית), התנע הזוויתי נשמר: $I_{1} ω_{1} = I_{2} ω_{2}$ . כש- $I_{2} < I_{1}$ , חייבת להתקיים $ω_{2} > ω_{1}$ .
3התובנהאותו רעיון מסביר כוכבים שמתכווצים ומסתובבים מהר יותר, וגלקסיות שמתעבות. שימור התנע הזוויתי הוא אחד החוקים העמידים ביותר בטבע.
$ω_{2} = \frac{I _{1}}{I _{2}} ω_{1} > ω_{1}$

07

כבידה ומסלולים

ניוטון הבין שהכוח שמחזיק את הירח במסלולו הוא אותו כוח שמפיל תפוח. כבידה היא חוק ריבוע הפוך.

חוק הכבידה האוניברסלי

כל שתי מסות מושכות זו את זו בכוח פרופורציונלי למכפלת המסות, והפוך לריבוע המרחק ביניהן. הנה כוח הפעולה מרחוק של ניוטון.

חוק הכבידה של ניוטון

F = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}} \overset{r}{^}, G = 6.674 \times 1 0^{- 11} N\cdotm^{2} / kg^{2}

על פני כדור הארץ, כוח זה שווה למשקל $m g$ , וזה מסביר מדוע $g = \frac{G M _{\oplus}}{R _{\oplus}^{2}} \approx 9.8$ . כך גלילאו ו'אינטואיציה לנפילה שווה' מקבלים הסבר: תאוצת כבידה תלויה רק במסה של כדור הארץ ובמרחק ממרכזו - לא במסה של הגוף הנופל.

מסלולים וחוקי קפלר - הנגזרת

מאותו חוק ריבוע הפוך אפשר להסיק מחדש את חוקי קפלר. זו דוגמה נדירה וחזקה לאיך תורת יחידה אחת מסבירה תצפיות רבות. הנה ההיגיון מאחורי כל חוק:

קפלר ← ניוטון: למה שטחים שווים בזמנים שווים

\frac{d L}{d t} = τ = r \times F = r \times (- G \frac{m M}{r ^{2}} \overset{r}{^}) = 0

מהירות מעגלית ותנאי למסלול יציב

במסלול מעגלי ברדיוס $r$ , כוח הכבידה מספק את התאוצה הצנטריפטלית הנדרשת. משוואת הכוח נותנת מהירות מסלולית אופיינית.

מהירות מסלולית מעגלית

\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{GM m}{r ^{2}} \Rightarrow v = \frac{GM}{r}

ככל שמסלול נמוך יותר (r קטן), המהירות גדולה יותר. לווין במסלול נמוך צריך לנוע מהר כדי ”לא ליפול” - כי הכבידה שם חזקה יותר.

מהירות מילוט - אינטואיציה

אנרגיה היא המפתח. במרחק אינסופי, האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת. אם גוף יעזוב את פני הכדור עם מהירות שבה האנרגיה הקינטית שלו מספיקה כדי ”לשלם” את הדרך החוצה לגמרי - הוא יברח. התנאי: האנרגיה הכוללת אפסית או גדולה מאפס.

מהירות מילוט

\frac{1}{2} m v_{esc}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0 \Rightarrow v_{esc} = \frac{2 GM}{R}

08

רעיונות לגראנז' והמילטון

סוף-סוף רואים את התמונה הגדולה: פיזיקה כהיגיון של מינימום, ואנרגיה כשחקן המרכזי במרדף אחרי המסלול.

עקרון הפעולה המינימלית

ניוטון ניסח את הפיזיקה כ”כל רגע, כל כוח”. לגראנז' הבין שאפשר לראות אותה אחרת: בין נתיב אפשרי למשנהו, הטבע בוחר את זה שממזער כמות אחת שנקראת פעולה. זה עיקרון גלובלי (של כל המסלול) שהפיזיקה המקומית היא תוצאה שלו.

עקרון הפעולה המינימלית

S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t, δ S = 0

קואורדינטות כלליות

במקום להתעקש על קואורדינטות קרטזיות $x, y, z$ , בוחרים את הקואורדינטות שהכי טבעיות לבעיה (קוטביות, זווית מטוטלת, אורך קפיץ). השפה של לגראנז' לא דואגת ל- $F = ma$ בתוך כל אחד, אלא שואלת: איך האנרגיות משתנות עם הקואורדינטות?

הלגראנז'יאן והמילטוניאן: אנרגיות כשחקן המרכזי

מגדירים את הלגראנז'יאן $L = T - U$ (קינטית מינוס פוטנציאלית). משוואת אוילר-לגראנז' נותנת את משוואות התנועה, והיא שקולה ל- $F = ma$ אבל נוצרת מצעד אחד אוטומטי.

משוואת אוילר-לגראנז'

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}} - \frac{\partial L}{\partial q _{i}} = 0

המילטון לקח את זה צעד קדימה: הגדיר המילטוניאן $H = T + U$ (אנרגיה כוללת), וניסח מערכת משוואות קנונית ראשונה סימטרית שמתאימה למכניקה קוונטית.

משוואות המילטון

\overset{q}{˙}_{i} = \frac{\partial H}{\partial p _{i}}, \overset{p}{˙}_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q _{i}}

למה זה משנה מעבר למכניקה קלאסית

שני הניסוחים הם לא רק אלגנטיות. הם הבסיס עליו נבנית פיזיקה מודרנית: עקרון הפעולה מכליל לתורת שדות קלאסית וקוונטית, וההמילטוניאן הוא ה”אנרגיה” שבמרכז משוואת שרדינגר. כל מי שלומד מכניקה קלאסית מניח כאן את התשתית לקוונטים ולפיזיקה תאורטית.

09

סיכום והתמונה הגדולה

עכשיו, כשהכל מאחורינו, בואו נרכז את הכלים החשובים ביותר למקום אחד.

התיבה המרכזית של המכניקה הקלאסית

F = m a ⟺ L = T - U ⟺ H = T + U

W = Δ K, Δ p = F Δ t, τ = I α, L = I ω

ארבעה עקרונות גדולים גזרנו:

תיאור (קינמטיקה): מיקום, מהירות, תאוצה - והיכן ההתמדה.
הסבר (דינמיקה): כוח קובע תאוצה, דרך $F = ma$ .
שימורים: אנרגיה, תנע, ותנע זוויתי - חוקי שמירה שפועלים בכל אירוע, ולרוב קלים יותר מפתרון ישיר.
מסגרת כללית: גישה של מינימום (פעולה) ואנרגיה, שמכלילה לפיזיקה מודרנית.

אם הרעשים של לגראנז' והמילטון עדיין מרגשים, או שגרת התנועה הסיבובית מרגישת לא מוכרת - חזרו לחלקים הרלוונטיים. מדריך טוב לא נמדד בכמה הוא דק, אלא בכמה הבנת.